Sejarah Geometri non Euclid

Awal abad ke-19 akhirnya akan menyaksikan langkah-langkah yang menentukan dalam penciptaan non-Euclidean geometri. Sekitar tahun 1830, matematikawan Hungaria János Bolyai dan matematikawan Rusia Nikolai Lobachevsky secara terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut Bolyai-Lobachevskian geometri, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar non-Euclidean geometri. Gauss disebutkan kepada ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah dikembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelumnya, meskipun ia tidak mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan paralel mendalilkan, Bolyai bekerja di luar geometri di mana kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada k parameter. Bolyai berakhir karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri alam semesta fisik Euclid atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.

Bernhard Riemann, dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, mendirikan bidang geometri Riemann, membahas khususnya ide-ide sekarang disebut manifold, Riemannian metrik, dan kelengkungan. Ia dibangun sebuah keluarga tak terbatas geometri yang tidak Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola satuan dalam ruang Euclidean. Yang paling sederhana ini disebut geometri berbentuk bulat panjang dan dianggap menjadi geometri non-Euclidean karena kurangnya garis paralel. [9]
[Sunting] Terminologi

Itu Gauss yang menciptakan istilah "non-euclidean geometri" [10] Dia merujuk pada karyanya sendiri yang hari ini kita sebut geometri hiperbolik.. Beberapa penulis modern yang masih menganggap "non-euclidean geometri" dan "geometri hiperbolik" menjadi sinonim. Pada tahun 1871, Felix Klein, dengan mengadaptasi metrik dibahas oleh Arthur Cayley pada tahun 1852, mampu membawa sifat metrik menjadi sebuah lokasi yang proyektif dan karena itu mampu menyatukan perawatan geometri hiperbolik, euclidean dan berbentuk bulat panjang di bawah payung projective geometri. [ 11] Klein bertanggung jawab untuk istilah "hiperbolik" dan "eliptik" (dalam sistem, ia disebut geometri Euclidean "parabola", sebuah istilah yang belum selamat dari ujian waktu). Pengaruhnya telah menyebabkan penggunaan saat ini dari "geometri non-euclidean" untuk berarti baik geometri "hiperbolik" atau "berbentuk bulat panjang".

Ada beberapa hebat matematika yang akan memperpanjang daftar geometri yang harus disebut "non-euclidean" dengan berbagai cara [12] Dalam disiplin ilmu lainnya., Fisika terutama matematika paling, istilah "non-euclidean" sering diartikan tidak Euclidean .
[Sunting] aksioma dasar non-Euclidean geometri

Geometri Euclidean aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya, sistem yang asli Euclid lima postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya mengandalkan asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil sebagai aksioma. Sistem Hilbert yang terdiri dari 20 aksioma [13] paling dekat mengikuti pendekatan Euclid dan memberikan pembenaran untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan set yang berbeda dari istilah terdefinisi mendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang berbeda. Dalam semua pendekatan, bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara dengan kelima postulat Euclid, paralel dalil. Hilbert menggunakan bentuk aksioma Playfair, sementara Birkhoff, misalnya, menggunakan aksioma yang mengatakan bahwa "tidak ada sepasang segitiga serupa tapi tidak kongruen." Dalam salah satu sistem, penghapusan satu aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk apapun yang diperlukan, dan meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan geometri absolut. Sebagai pertama 28 proposisi Euclid (dalam The Elements) tidak memerlukan penggunaan postulat paralel atau apa setara dengan itu, mereka semua pernyataan benar dalam geometri mutlak [14].

Untuk mendapatkan geometri non-Euclidean, paralel dalil (atau ekuivalen) harus diganti oleh negasinya. Meniadakan bentuk aksioma Playfair, karena itu adalah pernyataan majemuk (... terdapat satu dan hanya satu ...), bisa dilakukan dengan dua cara. Entah ada akan ada lebih dari satu baris melalui paralel titik ke garis diberikan atau akan ada tidak ada garis melalui titik paralel ke garis yang diberikan. Dalam kasus pertama, menggantikan paralel dalil (atau ekuivalen) dengan pernyataan "Di pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P, terdapat dua garis melalui P yang tidak memenuhi l" dan menjaga semua aksioma lainnya, hasil geometri hiperbolik [15]. Kasus kedua tidak ditangani dengan mudah. Cukup mengganti paralel mendalilkan dengan pernyataan, "Dalam pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P, semua garis melalui P memenuhi l", tidak memberikan satu set konsisten aksioma. Ini mengikuti sejak garis paralel ada di geometri mutlak [16], tetapi pernyataan ini mengatakan bahwa tidak ada garis paralel. Masalah ini dikenal (dalam kedok yang berbeda) untuk Khayyam, Saccheri dan Lambert dan merupakan dasar untuk menolak mereka apa yang dikenal sebagai "kasus sudut tumpul". Untuk mendapatkan satu set konsisten aksioma yang meliputi aksioma ini tentang tidak memiliki garis paralel, beberapa aksioma lain harus tweak. Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem aksioma yang digunakan. Beberapa diantaranya tweak akan memiliki efek memodifikasi kedua postulat Euclid dari pernyataan bahwa segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas waktu untuk pernyataan bahwa garis tak terbatas. Geometri eliptik Riemann muncul sebagai geometri paling alami memuaskan aksioma ini.